Resolver {l}{3x+7y=13}{5x-4y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 13 } \\ { 5 x - 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+7y=13$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-7y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+13\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -7y+13.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{-7y+13}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-4y=6).

$$5\left(-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}\right)-4y=6$$

Egin 5 bider \frac{-7y+13}{3}.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{65}{3}-4y=6$$

Gehitu -\frac{35y}{3} eta -4y.

$$-\frac{47}{3}y+\frac{65}{3}=6$$

Egin ken \frac{65}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{47}{3}y=-\frac{47}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{47}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-7+13}{3}$$

Gehitu \frac{13}{3} eta -\frac{7}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-7\times 5}&-\frac{7}{3\left(-4\right)-7\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-7\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}&\frac{7}{47}\\\frac{5}{47}&-\frac{3}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}\times 13+\frac{7}{47}\times 6\\\frac{5}{47}\times 13-\frac{3}{47}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\times 7y=5\times 13,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Sinplifikatu.

$$15x+35y=65,15x-12y=18$$

Egin 15x-12y=18 ken 15x+35y=65 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+35y+12y=65-18$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$35y+12y=65-18$$

Gehitu 35y eta 12y.

$$47y=65-18$$

Gehitu 65 eta -18.

$$47y=47$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 47 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 5x-4y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-4=6$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$