Resolver {l}{3x+7y=-1}{x+7/2y=-2/3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = - 1 } \\ { x + \frac { 7 } { 2 } y = - \frac { 2 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+7y=-1,x+\frac{7}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+7y=-1$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-7y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y-1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -7y-1.

$$x=-\frac{7}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-7y-1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+\frac{7}{2}y=-\frac{2}{3}).

$$-\frac{7}{3}y-\frac{1}{3}+\frac{7}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Gehitu -\frac{7y}{3} eta \frac{7y}{2}.

$$\frac{7}{6}y-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{6}y=-\frac{1}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Ordeztu -\frac{2}{7} y balioarekin x=-\frac{7}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{3}\left(-\frac{2}{7}\right)-\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{7}{3} bider -\frac{2}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=-\frac{2}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+7y=-1,x+\frac{7}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&7\\1&\frac{7}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{7}{2}}{3\times \frac{7}{2}-7}&-\frac{7}{3\times \frac{7}{2}-7}\\-\frac{1}{3\times \frac{7}{2}-7}&\frac{3}{3\times \frac{7}{2}-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-2\left(-\frac{2}{3}\right)\\-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{6}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{3},y=-\frac{2}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+7y=-1,x+\frac{7}{2}y=-\frac{2}{3}$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+7y=-1,3x+3\times \frac{7}{2}y=3\left(-\frac{2}{3}\right)$$

Sinplifikatu.

$$3x+7y=-1,3x+\frac{21}{2}y=-2$$

Egin 3x+\frac{21}{2}y=-2 ken 3x+7y=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+7y-\frac{21}{2}y=-1+2$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y-\frac{21}{2}y=-1+2$$

Gehitu 7y eta -\frac{21y}{2}.

$$-\frac{7}{2}y=-1+2$$

Gehitu -1 eta 2.

$$-\frac{7}{2}y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Ordeztu -\frac{2}{7} y balioarekin x+\frac{7}{2}y=-\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{7}{2}\left(-\frac{2}{7}\right)=-\frac{2}{3}$$

Egin \frac{7}{2} bider -\frac{2}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x-1=-\frac{2}{3}$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=-\frac{2}{7}$$