Resolver {l}{3x+5y=7}{2x+y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=7$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+7.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y+7}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=-9).

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

Egin 2 bider \frac{-5y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

Egin ken \frac{14}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{41}{7}$$

Ordeztu \frac{41}{7} y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider \frac{41}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

Gehitu \frac{7}{3} eta -\frac{205}{21} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{52}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

Egin 6x+3y=-27 ken 6x+10y=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-3y=14+27$$

Gehitu 10y eta -3y.

$$7y=14+27$$

Gehitu 14 eta 27.

$$7y=41$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=\frac{41}{7}$$

Ordeztu \frac{41}{7} y balioarekin 2x+y=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

Egin ken \frac{41}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{104}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{52}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$