Resolver {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=21$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+21.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

Ordeztu -\frac{5y}{3}+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+2y=4).

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

Egin 5 bider -\frac{5y}{3}+7.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

Gehitu -\frac{25y}{3} eta 2y.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

Egin ken 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{19}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{93}{19}$$

Ordeztu \frac{93}{19} y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

Egin -\frac{5}{3} bider \frac{93}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

Gehitu 7 eta -\frac{155}{19}.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

Sinplifikatu.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

Egin 15x+6y=12 ken 15x+25y=105 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25y-6y=105-12$$

Gehitu 25y eta -6y.

$$19y=105-12$$

Gehitu 105 eta -12.

$$19y=93$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=\frac{93}{19}$$

Ordeztu \frac{93}{19} y balioarekin 5x+2y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

Egin 2 bider \frac{93}{19}.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

Egin ken \frac{186}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$