Resolver {l}{3x+5y=13}{x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 13 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=13,x+y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=13$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+13\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+13.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y+13}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=5).

$$-\frac{5}{3}y+\frac{13}{3}+y=5$$

Gehitu -\frac{5y}{3} eta y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}=5$$

Egin ken \frac{13}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{2}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{13}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider -1.

$$x=\frac{5+13}{3}$$

Gehitu \frac{13}{3} eta \frac{5}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=13,x+y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5}&-\frac{5}{3-5}\\-\frac{1}{3-5}&\frac{3}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 13-\frac{3}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=13,x+y=5$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+5y=13,3x+3y=3\times 5$$

Sinplifikatu.

$$3x+5y=13,3x+3y=15$$

Egin 3x+3y=15 ken 3x+5y=13 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+5y-3y=13-15$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y-3y=13-15$$

Gehitu 5y eta -3y.

$$2y=13-15$$

Gehitu 13 eta -15.

$$2y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x+y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-1=5$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-1$$