Resolver {l}{3x+5y=10}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 10 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=10$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+10\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+10.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y+10}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=5).

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=5$$

Egin 2 bider \frac{-5y+10}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}-y=5$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta -y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

Egin ken \frac{20}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{5}{13}$$

Ordeztu \frac{5}{13} y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{10}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider \frac{5}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{10}{3}$$

Gehitu \frac{10}{3} eta -\frac{25}{39} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{35}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 10+\frac{5}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 10-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 10,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5$$

Sinplifikatu.

$$6x+10y=20,6x-3y=15$$

Egin 6x-3y=15 ken 6x+10y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+10y+3y=20-15$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y+3y=20-15$$

Gehitu 10y eta 3y.

$$13y=20-15$$

Gehitu 20 eta -15.

$$13y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=\frac{5}{13}$$

Ordeztu \frac{5}{13} y balioarekin 2x-y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-\frac{5}{13}=5$$

Gehitu \frac{5}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{70}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{35}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$