Resolver {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 22x bi aldeetan.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x lortzeko, konbinatu -5x eta 22x.

$$17x+2y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=-24$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Ordeztu -\frac{5y}{3}-8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (17x+2y=0).

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

Egin 17 bider -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Gehitu -\frac{85y}{3} eta 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Gehitu 136 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{79}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Ordeztu -\frac{408}{79} y balioarekin x=-\frac{5}{3}y-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Egin -\frac{5}{3} bider -\frac{408}{79}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Gehitu -8 eta \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 22x bi aldeetan.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x lortzeko, konbinatu -5x eta 22x.

$$17x+2y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 22x bi aldeetan.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x lortzeko, konbinatu -5x eta 22x.

$$17x+2y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x eta 17x berdintzeko, biderkatu 17 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Sinplifikatu.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Egin 51x+6y=0 ken 51x+85y=-408 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Gehitu 51x eta -51x. Sinplifikatu egiten dira 51x eta -51x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$85y-6y=-408$$

Gehitu 85y eta -6y.

$$79y=-408$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 79 balioarekin.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Ordeztu -\frac{408}{79} y balioarekin 17x+2y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

Egin 2 bider -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Gehitu \frac{816}{79} ekuazioaren bi aldeetan.

$$17x=\frac{816}{79}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$x=\frac{48}{79}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$