Resolver {l}{3x+4y-5=0}{x-5y+4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y - 5 = 0 } \\ { x - 5 y + 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{9}{19}\approx 0.473684211$$

$$y=\frac{17}{19}\approx 0.894736842$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y-5=0,x-5y+4=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x+4y=5$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-4y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-5y+4=0).

$$-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}-5y+4=0$$

Gehitu -\frac{4y}{3} eta -5y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{5}{3}+4=0$$

Gehitu \frac{5}{3} eta 4.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{17}{3}=0$$

Egin ken \frac{17}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{17}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{19}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{17}{19}$$

Ordeztu \frac{17}{19} y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{17}{19}+\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{4}{3} bider \frac{17}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{68}{57}+\frac{5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -\frac{68}{57} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{19},y=\frac{17}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y-5=0,x-5y+4=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\1&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-5\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-4}&\frac{3}{3\left(-5\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{4}{19}\\\frac{1}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 5+\frac{4}{19}\left(-4\right)\\\frac{1}{19}\times 5-\frac{3}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\\\frac{17}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{19},y=\frac{17}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y-5=0,x-5y+4=0$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+4y-5=0,3x+3\left(-5\right)y+3\times 4=0$$

Sinplifikatu.

$$3x+4y-5=0,3x-15y+12=0$$

Egin 3x-15y+12=0 ken 3x+4y-5=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+4y+15y-5-12=0$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+15y-5-12=0$$

Gehitu 4y eta 15y.

$$19y-5-12=0$$

Gehitu -5 eta -12.

$$19y-17=0$$

Gehitu 17 ekuazioaren bi aldeetan.

$$19y=17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=\frac{17}{19}$$

Ordeztu \frac{17}{19} y balioarekin x-5y+4=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-5\times \frac{17}{19}+4=0$$

Egin -5 bider \frac{17}{19}.

$$x-\frac{85}{19}+4=0$$

Gehitu -\frac{85}{19} eta 4.

$$x-\frac{9}{19}=0$$

Gehitu \frac{9}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{9}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{19},y=\frac{17}{19}$$