Resolver {l}{3x+4y=5}{6x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 6 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=5,6x+5y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y=5$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-4y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+5y=7).

$$6\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

Egin 6 bider \frac{-4y+5}{3}.

$$-8y+10+5y=7$$

Gehitu -8y eta 5y.

$$-3y+10=7$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -\frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y=5,6x+5y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\6&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 6}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 6}\\-\frac{6}{3\times 5-4\times 6}&\frac{3}{3\times 5-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 5+\frac{4}{9}\times 7\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{3},y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y=5,6x+5y=7$$

3x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 3x+6\times 4y=6\times 5,3\times 6x+3\times 5y=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$18x+24y=30,18x+15y=21$$

Egin 18x+15y=21 ken 18x+24y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+24y-15y=30-21$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24y-15y=30-21$$

Gehitu 24y eta -15y.

$$9y=30-21$$

Gehitu 30 eta -21.

$$9y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 6x+5y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+5=7$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=1$$