Resolver {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y=3$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

Ordeztu -\frac{4y}{3}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+7y=14).

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

Egin 8 bider -\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

Gehitu -\frac{32y}{3} eta 7y.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Ordeztu -\frac{18}{11} y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

Egin -\frac{4}{3} bider -\frac{18}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

Gehitu 1 eta \frac{24}{11}.

$$x=\frac{35}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

3x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

Sinplifikatu.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

Egin 24x+21y=42 ken 24x+32y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

Gehitu 24x eta -24x. Sinplifikatu egiten dira 24x eta -24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$32y-21y=24-42$$

Gehitu 32y eta -21y.

$$11y=24-42$$

Gehitu 24 eta -42.

$$11y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Ordeztu -\frac{18}{11} y balioarekin 8x+7y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

Egin 7 bider -\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

Gehitu \frac{126}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=\frac{280}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{35}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$