Resolver {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y=28$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y+28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y+28.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

Ordeztu \frac{-4y+28}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-6y=8).

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

Egin 9 bider \frac{-4y+28}{3}.

$$-12y+84-6y=8$$

Gehitu -12y eta -6y.

$$-18y+84=8$$

Egin ken 84 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-18y=-76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=\frac{38}{9}$$

Ordeztu \frac{38}{9} y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

Egin -\frac{4}{3} bider \frac{38}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

Gehitu \frac{28}{3} eta -\frac{152}{27} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{100}{27}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

3x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

Sinplifikatu.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

Egin 27x-18y=24 ken 27x+36y=252 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

Gehitu 27x eta -27x. Sinplifikatu egiten dira 27x eta -27x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y+18y=252-24$$

Gehitu 36y eta 18y.

$$54y=252-24$$

Gehitu 252 eta -24.

$$54y=228$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 54 balioarekin.

$$y=\frac{38}{9}$$

Ordeztu \frac{38}{9} y balioarekin 9x-6y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

Egin -6 bider \frac{38}{9}.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

Gehitu \frac{76}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{100}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{100}{27}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$