Resolver {l}{3x+4y=1}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{7}{13}\approx 0.538461538$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y=1$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-4y+1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=2).

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+y=2$$

Egin 4 bider \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{4}{3}+y=2$$

Gehitu -\frac{16y}{3} eta y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{4}{3}=2$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{3}y=\frac{2}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Ordeztu -\frac{2}{13} y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{13}\right)+\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{4}{3} bider -\frac{2}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{8}{39}+\frac{1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{8}{39} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{7}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 4}&-\frac{4}{3-4\times 4}\\-\frac{4}{3-4\times 4}&\frac{3}{3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}+\frac{4}{13}\times 2\\\frac{4}{13}-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

3x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 3x+4\times 4y=4,3\times 4x+3y=3\times 2$$

Sinplifikatu.

$$12x+16y=4,12x+3y=6$$

Egin 12x+3y=6 ken 12x+16y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+16y-3y=4-6$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y-3y=4-6$$

Gehitu 16y eta -3y.

$$13y=4-6$$

Gehitu 4 eta -6.

$$13y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Ordeztu -\frac{2}{13} y balioarekin 4x+y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-\frac{2}{13}=2$$

Gehitu \frac{2}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{28}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{7}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$