Resolver {l}{3x+4y=-4}{4x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y=-4$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y-4.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{-4y-4}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+3y=6).

$$4\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

Egin 4 bider \frac{-4y-4}{3}.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}+3y=6$$

Gehitu -\frac{16y}{3} eta 3y.

$$-\frac{7}{3}y-\frac{16}{3}=6$$

Gehitu \frac{16}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{3}y=\frac{34}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Ordeztu -\frac{34}{7} y balioarekin x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{34}{7}\right)-\frac{4}{3}$$

Egin -\frac{4}{3} bider -\frac{34}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{136}{21}-\frac{4}{3}$$

Gehitu -\frac{4}{3} eta \frac{136}{21} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{36}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}&\frac{3}{3\times 3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{4}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\left(-4\right)-\frac{3}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

3x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-4\right),3\times 4x+3\times 3y=3\times 6$$

Sinplifikatu.

$$12x+16y=-16,12x+9y=18$$

Egin 12x+9y=18 ken 12x+16y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+16y-9y=-16-18$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y-9y=-16-18$$

Gehitu 16y eta -9y.

$$7y=-16-18$$

Gehitu -16 eta -18.

$$7y=-34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Ordeztu -\frac{34}{7} y balioarekin 4x+3y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+3\left(-\frac{34}{7}\right)=6$$

Egin 3 bider -\frac{34}{7}.

$$4x-\frac{102}{7}=6$$

Gehitu \frac{102}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{144}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{36}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$