Resolver {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=87$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+87.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

Ordeztu -\frac{2y}{3}+29 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+6y=187).

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

Egin 5 bider -\frac{2y}{3}+29.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta 6y.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

Egin ken 145 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{3}y=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{63}{4}$$

Ordeztu \frac{63}{4} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+29 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{63}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

Gehitu 29 eta -\frac{21}{2}.

$$x=\frac{37}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

Sinplifikatu.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

Egin 15x+18y=561 ken 15x+10y=435 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-18y=435-561$$

Gehitu 10y eta -18y.

$$-8y=435-561$$

Gehitu 435 eta -561.

$$-8y=-126$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=\frac{63}{4}$$

Ordeztu \frac{63}{4} y balioarekin 5x+6y=187 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

Egin 6 bider \frac{63}{4}.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

Egin ken \frac{189}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{185}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{37}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$