Resolver {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=32$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+32}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+3y=15).

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

Egin -1 bider \frac{-2y+32}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta 3y.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

Gehitu \frac{32}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider 7.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

Gehitu \frac{32}{3} eta -\frac{14}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

3x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

Sinplifikatu.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

Egin -3x+9y=45 ken -3x-2y=-32 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-9y=-32-45$$

Gehitu -2y eta -9y.

$$-11y=-32-45$$

Gehitu -32 eta -45.

$$-11y=-77$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin -x+3y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+3\times 7=15$$

Egin 3 bider 7.

$$-x+21=15$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=7$$