Resolver {l}{3x+2y=3}{x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=-12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=3$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+3.

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

Ordeztu -\frac{2y}{3}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=21).

$$-\frac{2}{3}y+1-y=21$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta -y.

$$-\frac{5}{3}y+1=21$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{3}y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-12\right)+1$$

Egin -\frac{2}{3} bider -12.

$$x=8+1$$

Gehitu 1 eta 8.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 21\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{3}{5}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=-12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+2y=3,3x+3\left(-1\right)y=3\times 21$$

Sinplifikatu.

$$3x+2y=3,3x-3y=63$$

Egin 3x-3y=63 ken 3x+2y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+2y+3y=3-63$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+3y=3-63$$

Gehitu 2y eta 3y.

$$5y=3-63$$

Gehitu 3 eta -63.

$$5y=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin x-y=21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\left(-12\right)=21$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-12$$