Resolver {l}{3x+2y=-1}{6x+6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 1 } \\ { 6 x + 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=-1$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y-1.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y-1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+6y=-5).

$$6\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+6y=-5$$

Egin 6 bider \frac{-2y-1}{3}.

$$-4y-2+6y=-5$$

Gehitu -4y eta 6y.

$$2y-2=-5$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Ordeztu -\frac{3}{2} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider -\frac{3}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1-\frac{1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta 1.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&\frac{3}{3\times 6-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\-\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

3x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\left(-1\right),3\times 6x+3\times 6y=3\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$18x+12y=-6,18x+18y=-15$$

Egin 18x+18y=-15 ken 18x+12y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+12y-18y=-6+15$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-18y=-6+15$$

Gehitu 12y eta -18y.

$$-6y=-6+15$$

Gehitu -6 eta 15.

$$-6y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Ordeztu -\frac{3}{2} y balioarekin 6x+6y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+6\left(-\frac{3}{2}\right)=-5$$

Egin 6 bider -\frac{3}{2}.

$$6x-9=-5$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$