Resolver {l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+10y=11$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-10y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -10y+11.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

Ordeztu \frac{-10y+11}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-10x-8y=14).

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

Egin -10 bider \frac{-10y+11}{3}.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

Gehitu \frac{100y}{3} eta -8y.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

Gehitu \frac{110}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{76}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

Egin -\frac{10}{3} bider 2.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} eta -\frac{20}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

3x eta -10x berdintzeko, biderkatu -10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

Sinplifikatu.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

Egin -30x-24y=42 ken -30x-100y=-110 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

Gehitu -30x eta 30x. Sinplifikatu egiten dira -30x eta 30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-100y+24y=-110-42$$

Gehitu -100y eta 24y.

$$-76y=-110-42$$

Gehitu -110 eta -42.

$$-76y=-152$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -76 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -10x-8y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-10x-8\times 2=14$$

Egin -8 bider 2.

$$-10x-16=14$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=2$$