Resolver {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi w. Horretarako, isolatu w berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3w-2z=5$$

Gehitu 2z ekuazioaren bi aldeetan.

$$3w=2z+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{2z+5}{3} balioa w balioarekin beste ekuazioan (w+2z=15).

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Gehitu \frac{2z}{3} eta 2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$z=5$$

Ordeztu 5 z balioarekin w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, w ebatz dezakezu zuzenean.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider 5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{10}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$w=5$$

Ebatzi da sistema.

$$w=5,z=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Atera w eta z matrize-elementuak.

$$w=5,z=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w eta w berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Sinplifikatu.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Egin 3w+6z=45 ken 3w-2z=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Gehitu 3w eta -3w. Sinplifikatu egiten dira 3w eta -3w. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2z-6z=5-45$$

Gehitu -2z eta -6z.

$$-8z=5-45$$

Gehitu 5 eta -45.

$$-8z=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$z=5$$

Ordeztu 5 z balioarekin w+2z=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, w ebatz dezakezu zuzenean.

$$w+2\times 5=15$$

Egin 2 bider 5.

$$w+10=15$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$w=5$$

Ebatzi da sistema.

$$w=5,z=5$$