Resolver {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: u, z

$$z=3$$

$$u=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi u. Horretarako, isolatu u berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3u+z=15$$

Egin ken z ekuazioaren bi aldeetan.

$$3u=-z+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -z+15.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

Ordeztu -\frac{z}{3}+5 balioa u balioarekin beste ekuazioan (u+2z=10).

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

Gehitu -\frac{z}{3} eta 2z.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{3}z=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$z=3$$

Ordeztu 3 z balioarekin u=-\frac{1}{3}z+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

Egin -\frac{1}{3} bider 3.

$$u=-1+5$$

Gehitu 5 eta -1.

$$u=4$$

Ebatzi da sistema.

$$u=4,z=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera u eta z matrize-elementuak.

$$u=4,z=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u eta u berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

Sinplifikatu.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

Egin 3u+6z=30 ken 3u+z=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

Gehitu 3u eta -3u. Sinplifikatu egiten dira 3u eta -3u. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$z-6z=15-30$$

Gehitu z eta -6z.

$$-5z=15-30$$

Gehitu 15 eta -30.

$$-5z=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$z=3$$

Ordeztu 3 z balioarekin u+2z=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$u+2\times 3=10$$

Egin 2 bider 3.

$$u+6=10$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$u=4$$

Ebatzi da sistema.

$$u=4,z=3$$