Resolver {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi u. Horretarako, isolatu u berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3u+5x=8$$

Egin ken 5x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3u=-5x+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Ordeztu \frac{-5x+8}{3} balioa u balioarekin beste ekuazioan (5u+5x=14).

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

Egin 5 bider \frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Gehitu -\frac{25x}{3} eta 5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Egin ken \frac{40}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{10}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ordeztu -\frac{1}{5} x balioarekin u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider -\frac{1}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta \frac{1}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u=3$$

Ebatzi da sistema.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera u eta x matrize-elementuak.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Egin 5u+5x=14 ken 3u+5x=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3u-5u=8-14$$

Gehitu 3u eta -5u.

$$-2u=8-14$$

Gehitu 8 eta -14.

$$-2u=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$u=3$$

Ordeztu 3 u balioarekin 5u+5x=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5\times 3+5x=14$$

Egin 5 bider 3.

$$15+5x=14$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$