Resolver {l}{3p+4q=3}{1/2+q=3p}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 p + 4 q = 3 } \\ { \frac { 1 } { 2 } + q = 3 p } \end{array} \right.$$

Ebatzi: p, q

$$p=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$q=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3p bi aldeetatik.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

Kendu \frac{1}{2} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi p. Horretarako, isolatu p berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3p+4q=3$$

Egin ken 4q ekuazioaren bi aldeetan.

$$3p=-4q+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$p=\frac{1}{3}\left(-4q+3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4q+3.

$$p=-\frac{4}{3}q+1$$

Ordeztu -\frac{4q}{3}+1 balioa p balioarekin beste ekuazioan (-3p+q=-\frac{1}{2}).

$$-3\left(-\frac{4}{3}q+1\right)+q=-\frac{1}{2}$$

Egin -3 bider -\frac{4q}{3}+1.

$$4q-3+q=-\frac{1}{2}$$

Gehitu 4q eta q.

$$5q-3=-\frac{1}{2}$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5q=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$q=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} q balioarekin p=-\frac{4}{3}q+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$p=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{2}+1$$

Egin -\frac{4}{3} bider \frac{1}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$p=-\frac{2}{3}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{2}{3}.

$$p=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3p bi aldeetatik.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

Kendu \frac{1}{2} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3-4\left(-3\right)}&\frac{3}{3-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{4}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 3-\frac{4}{15}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera p eta q matrize-elementuak.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3p bi aldeetatik.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

Kendu \frac{1}{2} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

3p eta -3p berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 3p-3\times 4q=-3\times 3,3\left(-3\right)p+3q=3\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Sinplifikatu.

$$-9p-12q=-9,-9p+3q=-\frac{3}{2}$$

Egin -9p+3q=-\frac{3}{2} ken -9p-12q=-9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-9p+9p-12q-3q=-9+\frac{3}{2}$$

Gehitu -9p eta 9p. Sinplifikatu egiten dira -9p eta 9p. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12q-3q=-9+\frac{3}{2}$$

Gehitu -12q eta -3q.

$$-15q=-9+\frac{3}{2}$$

Gehitu -9 eta \frac{3}{2}.

$$-15q=-\frac{15}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$q=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} q balioarekin -3p+q=-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3p+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3p=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$p=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$