Resolver {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: c, x

$$x=1$$

$$c=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi c. Horretarako, isolatu c berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3c+2x=5$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3c=-2x+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2x+5.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-2x+5}{3} balioa c balioarekin beste ekuazioan (2c+4x=6).

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

Egin 2 bider \frac{-2x+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

Gehitu -\frac{4x}{3} eta 4x.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -\frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$c=1$$

Ebatzi da sistema.

$$c=1,x=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera c eta x matrize-elementuak.

$$c=1,x=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

3c eta 2c berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

Sinplifikatu.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

Egin 6c+12x=18 ken 6c+4x=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

Gehitu 6c eta -6c. Sinplifikatu egiten dira 6c eta -6c. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-12x=10-18$$

Gehitu 4x eta -12x.

$$-8x=10-18$$

Gehitu 10 eta -18.

$$-8x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin 2c+4x=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$2c+4=6$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2c=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$c=1$$

Ebatzi da sistema.

$$c=1,x=1$$