Resolver {l}{3a+b=9}{a+b=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = 9 } \\ { a + b = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=3$$

$$b=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3a+b=9,a+b=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3a+b=9$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=-b+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b+9\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -b+9.

$$a=-\frac{1}{3}b+3$$

Ordeztu -\frac{b}{3}+3 balioa a balioarekin beste ekuazioan (a+b=3).

$$-\frac{1}{3}b+3+b=3$$

Gehitu -\frac{b}{3} eta b.

$$\frac{2}{3}b+3=3$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}b=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=0$$

Ordeztu 0 b balioarekin a=-\frac{1}{3}b+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=3$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,b=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3a+b=9,a+b=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=3,b=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3a+b=9,a+b=3$$

Egin a+b=3 ken 3a+b=9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3a-a+b-b=9-3$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3a-a=9-3$$

Gehitu 3a eta -a.

$$2a=9-3$$

Gehitu 9 eta -3.

$$2a=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=3$$

Ordeztu 3 a balioarekin a+b=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$3+b=3$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=0$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,b=0$$