Resolver {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3a+b=-3$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=-b-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

Ordeztu -\frac{b}{3}-1 balioa a balioarekin beste ekuazioan (2a-b=-1).

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

Egin 2 bider -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Gehitu -\frac{2b}{3} eta -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Ordeztu -\frac{3}{5} b balioarekin a=-\frac{1}{3}b-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Egin -\frac{1}{3} bider -\frac{3}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

3a eta 2a berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

Egin 6a-3b=-3 ken 6a+2b=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Gehitu 6a eta -6a. Sinplifikatu egiten dira 6a eta -6a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2b+3b=-6+3$$

Gehitu 2b eta 3b.

$$5b=-6+3$$

Gehitu -6 eta 3.

$$5b=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Ordeztu -\frac{3}{5} b balioarekin 2a-b=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

Egin ken \frac{3}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$