Resolver {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, u

$$a=4$$

$$u=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3a+5u=17$$

Egin ken 5u ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=-5u+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5u+17.

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

Ordeztu \frac{-5u+17}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (2a+u=9).

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

Egin 2 bider \frac{-5u+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

Gehitu -\frac{10u}{3} eta u.

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

Egin ken \frac{34}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$u=1$$

Ordeztu 1 u balioarekin a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

Gehitu \frac{17}{3} eta -\frac{5}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=4$$

Ebatzi da sistema.

$$a=4,u=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Atera a eta u matrize-elementuak.

$$a=4,u=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

3a eta 2a berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

Sinplifikatu.

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

Egin 6a+3u=27 ken 6a+10u=34 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

Gehitu 6a eta -6a. Sinplifikatu egiten dira 6a eta -6a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10u-3u=34-27$$

Gehitu 10u eta -3u.

$$7u=34-27$$

Gehitu 34 eta -27.

$$7u=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$u=1$$

Ordeztu 1 u balioarekin 2a+u=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$2a+1=9$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=4$$

Ebatzi da sistema.

$$a=4,u=1$$