Resolver {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3A-13c=-255$$

Gehitu 13c ekuazioaren bi aldeetan.

$$3A=13c-255$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

Ordeztu \frac{13c}{3}-85 balioa A balioarekin beste ekuazioan (31A-6c=-180).

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

Egin 31 bider \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Gehitu \frac{403c}{3} eta -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Gehitu 2635 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{385}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Ordeztu \frac{1473}{77} c balioarekin A=\frac{13}{3}c-85 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

Egin \frac{13}{3} bider \frac{1473}{77}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Gehitu -85 eta \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

Atera A eta c matrize-elementuak.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A eta 31A berdintzeko, biderkatu 31 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Sinplifikatu.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

Egin 93A-18c=-540 ken 93A-403c=-7905 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Gehitu 93A eta -93A. Sinplifikatu egiten dira 93A eta -93A. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-403c+18c=-7905+540$$

Gehitu -403c eta 18c.

$$-385c=-7905+540$$

Gehitu -7905 eta 540.

$$-385c=-7365$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -385 balioarekin.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Ordeztu \frac{1473}{77} c balioarekin 31A-6c=-180 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

Egin -6 bider \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Gehitu \frac{8838}{77} ekuazioaren bi aldeetan.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 31 balioarekin.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$