Resolver {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 2x-5 biderkatzeko.

$$6x-15+2y=-41$$

Gehitu 15 bi aldeetan.

$$6x+2y=-41+15$$

-26 lortzeko, gehitu -41 eta 15.

$$6x+2y=-26$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 9.

$$x-3y-9y=45$$

-12y lortzeko, konbinatu -3y eta -9y.

$$x-12y=45$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+2y=-26$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-2y-26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{-y-13}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-12y=45).

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

Gehitu -\frac{y}{3} eta -12y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

Gehitu \frac{13}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{37}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider -4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

Gehitu -\frac{13}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 2x-5 biderkatzeko.

$$6x-15+2y=-41$$

Gehitu 15 bi aldeetan.

$$6x+2y=-41+15$$

-26 lortzeko, gehitu -41 eta 15.

$$6x+2y=-26$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 9.

$$x-3y-9y=45$$

-12y lortzeko, konbinatu -3y eta -9y.

$$x-12y=45$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 2x-5 biderkatzeko.

$$6x-15+2y=-41$$

Gehitu 15 bi aldeetan.

$$6x+2y=-41+15$$

-26 lortzeko, gehitu -41 eta 15.

$$6x+2y=-26$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 9.

$$x-3y-9y=45$$

-12y lortzeko, konbinatu -3y eta -9y.

$$x-12y=45$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

6x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

Sinplifikatu.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

Egin 6x-72y=270 ken 6x+2y=-26 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+72y=-26-270$$

Gehitu 2y eta 72y.

$$74y=-26-270$$

Gehitu -26 eta -270.

$$74y=-296$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 74 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x-12y=45 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

Egin -12 bider -4.

$$x+48=45$$

Egin ken 48 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-4$$