Resolver {l}{3/2x+7/3y=1}{1/4x-7/6y=-3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 7 / 3 y = 1 } \\ { 1 / 4 x - 7 / 6 y = - 3 / 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14} \approx 1.071428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1$$

Egin ken \frac{7y}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{7}{3}y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{7}{3}y+1\right)$$

Egin \frac{2}{3} bider -\frac{7y}{3}+1.

$$x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}).

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Egin \frac{1}{4} bider -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Gehitu -\frac{7y}{18} eta -\frac{7y}{6}.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

Egin ken \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{5}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{14}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{15}{14}$$

Ordeztu \frac{15}{14} y balioarekin x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{14}{9}\times \frac{15}{14}+\frac{2}{3}$$

Egin -\frac{14}{9} bider \frac{15}{14}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta -\frac{5}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{7}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{28}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{28}-\frac{9}{14}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{14}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{3x}{2} eta \frac{x}{4} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{4} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{3}{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Sinplifikatu.

$$\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4}$$

Egin \frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4} ken \frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Gehitu \frac{3x}{8} eta -\frac{3x}{8}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{8} eta -\frac{3x}{8}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Gehitu \frac{7y}{12} eta \frac{7y}{4}.

$$\frac{7}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{15}{14}$$

Ordeztu \frac{15}{14} y balioarekin \frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}\times \frac{15}{14}=-\frac{3}{2}$$

Egin -\frac{7}{6} bider \frac{15}{14}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$