Resolver {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$25x+y=9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x=-y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

Egin \frac{1}{25} bider -y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

Ordeztu \frac{-y+9}{25} balioa x balioarekin beste ekuazioan (1.6x+0.2y=13).

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

Egin 1.6 bider \frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

Gehitu -\frac{8y}{125} eta \frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

Egin ken \frac{72}{125} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{125} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Ordeztu \frac{1553}{17} y balioarekin x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

Egin -\frac{1}{25} bider \frac{1553}{17}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

Gehitu \frac{9}{25} eta -\frac{1553}{425} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

25x eta \frac{8x}{5} berdintzeko, biderkatu 1.6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 25 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

Sinplifikatu.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

Egin 40x+5y=325 ken 40x+1.6y=14.4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

Gehitu 40x eta -40x. Sinplifikatu egiten dira 40x eta -40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

Gehitu \frac{8y}{5} eta -5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

Gehitu 14.4 eta -325.

$$-3.4y=-310.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Ordeztu \frac{1553}{17} y balioarekin 1.6x+0.2y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

Egin 0.2 bider \frac{1553}{17}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

Egin ken \frac{1553}{85} ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$