Resolver {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi c. Horretarako, isolatu c berdin ikurraren ezkerraldean.

$$25c+22T=152000$$

Egin ken 22T ekuazioaren bi aldeetan.

$$25c=-22T+152000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Egin \frac{1}{25} bider -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Ordeztu -\frac{22T}{25}+6080 balioa c balioarekin beste ekuazioan (11c+12T=75000).

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Egin 11 bider -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Gehitu -\frac{242T}{25} eta 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Egin ken 66880 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{58}{25} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$T=3500$$

Ordeztu 3500 T balioarekin c=-\frac{22}{25}T+6080 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Egin -\frac{22}{25} bider 3500.

$$c=-3080+6080$$

Gehitu 6080 eta -3080.

$$c=3000$$

Ebatzi da sistema.

$$c=3000,T=3500$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Atera c eta T matrize-elementuak.

$$c=3000,T=3500$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c eta 11c berdintzeko, biderkatu 11 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 25 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Sinplifikatu.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Egin 275c+300T=1875000 ken 275c+242T=1672000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Gehitu 275c eta -275c. Sinplifikatu egiten dira 275c eta -275c. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Gehitu 242T eta -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

Gehitu 1672000 eta -1875000.

$$-58T=-203000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -58 balioarekin.

$$T=3500$$

Ordeztu 3500 T balioarekin 11c+12T=75000 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$11c+12\times 3500=75000$$

Egin 12 bider 3500.

$$11c+42000=75000$$

Egin ken 42000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11c=33000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$c=3000$$

Ebatzi da sistema.

$$c=3000,T=3500$$