Resolver {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$22x+y=50$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$22x=-y+50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 22 balioarekin.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

Egin \frac{1}{22} bider -y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Ordeztu -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} balioa x balioarekin beste ekuazioan (27x-y=96).

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

Egin 27 bider -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

Gehitu -\frac{27y}{22} eta -y.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Egin ken \frac{675}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{49}{22} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Ordeztu -\frac{762}{49} y balioarekin x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Egin -\frac{1}{22} bider -\frac{762}{49}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Gehitu \frac{25}{11} eta \frac{381}{539} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{146}{49}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

22x eta 27x berdintzeko, biderkatu 27 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 22 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Sinplifikatu.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Egin 594x-22y=2112 ken 594x+27y=1350 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

Gehitu 594x eta -594x. Sinplifikatu egiten dira 594x eta -594x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27y+22y=1350-2112$$

Gehitu 27y eta 22y.

$$49y=1350-2112$$

Gehitu 1350 eta -2112.

$$49y=-762$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 49 balioarekin.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Ordeztu -\frac{762}{49} y balioarekin 27x-y=96 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Egin ken \frac{762}{49} ekuazioaren bi aldeetan.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 27 balioarekin.

$$x=\frac{146}{49}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$