Resolver {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2.5x+2.5y=17$$

Egin ken \frac{5y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2.5x=-2.5y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

Egin 0.4 bider -\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

Ordeztu -y+6.8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-1.5x-7.5y=-33).

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

Egin -1.5 bider -y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

Gehitu 10.2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=-22.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=3.8$$

Ordeztu 3.8 y balioarekin x=-y+6.8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3.8+6.8$$

Egin -1 bider 3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

Gehitu 6.8 eta -3.8 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=3.8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

\frac{5x}{2} eta -\frac{3x}{2} berdintzeko, biderkatu -1.5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

Sinplifikatu.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

Egin -3.75x-18.75y=-82.5 ken -3.75x-3.75y=-25.5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Gehitu -\frac{15x}{4} eta \frac{15x}{4}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{15x}{4} eta \frac{15x}{4}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Gehitu -\frac{15y}{4} eta \frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

Gehitu -25.5 eta 82.5 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15y=57$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=\frac{19}{5}$$

Ordeztu \frac{19}{5} y balioarekin -1.5x-7.5y=-33 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

Egin -7.5 bider \frac{19}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

Gehitu \frac{57}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$