Resolver {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y-3x=-27$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=3x-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

Ordeztu \frac{-27+3x}{2} balioa y balioarekin beste ekuazioan (5y+3x=6).

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

Egin 5 bider \frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

Gehitu \frac{15x}{2} eta 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Gehitu \frac{135}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{21}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=7$$

Ordeztu 7 x balioarekin y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider 7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Gehitu -\frac{27}{2} eta \frac{21}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-3,x=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

2y eta 5y berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

Egin 10y+6x=12 ken 10y-15x=-135 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

Gehitu 10y eta -10y. Sinplifikatu egiten dira 10y eta -10y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15x-6x=-135-12$$

Gehitu -15x eta -6x.

$$-21x=-135-12$$

Gehitu -135 eta -12.

$$-21x=-147$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -21 balioarekin.

$$x=7$$

Ordeztu 7 x balioarekin 5y+3x=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5y+3\times 7=6$$

Egin 3 bider 7.

$$5y+21=6$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=7$$