Resolver {l}{2y-2x=-40}{3x+2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 2 x = - 40 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=10$$

$$y=-10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y-2x=-40$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=2x-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\left(2x-40\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -40+2x.

$$y=x-20$$

Ordeztu x-20 balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+3x=10).

$$2\left(x-20\right)+3x=10$$

Egin 2 bider x-20.

$$2x-40+3x=10$$

Gehitu 2x eta 3x.

$$5x-40=10$$

Gehitu 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin y=x-20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=10-20$$

Gehitu -20 eta 10.

$$y=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-10,x=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-10,x=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Egin 2y+3x=10 ken 2y-2x=-40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y-2x-3x=-40-10$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x-3x=-40-10$$

Gehitu -2x eta -3x.

$$-5x=-40-10$$

Gehitu -40 eta -10.

$$-5x=-50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin 2y+3x=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+3\times 10=10$$

Egin 3 bider 10.

$$2y+30=10$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-10,x=10$$