Resolver {l}{2y=3x-4}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y-3x=-4$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=3x-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3x-4.

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

Ordeztu \frac{3x}{2}-2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y-x=1).

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

Egin 2 bider \frac{3x}{2}-2.

$$3x-4-x=1$$

Gehitu 3x eta -x.

$$2x-4=1$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} x balioarekin y=\frac{3}{2}x-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{5}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{15}{4}-2$$

Gehitu -2 eta \frac{15}{4}.

$$y=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Egin 2y-x=1 ken 2y-3x=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3x+x=-4-1$$

Gehitu -3x eta x.

$$-2x=-4-1$$

Gehitu -4 eta -1.

$$-2x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} x balioarekin 2y-x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$