Resolver {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x_{1}. Horretarako, isolatu x_{1} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Egin ken 3x_{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{-3x_{2}+7}{2} balioa x_{1} balioarekin beste ekuazioan (4x_{1}-4x_{2}=-6).

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Egin 4 bider \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Gehitu -6x_{2} eta -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10x_{2}=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x_{2}=2$$

Ordeztu 2 x_{2} balioarekin x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} eta -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x_{1} eta x_{2} matrize-elementuak.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} eta 4x_{1} berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Sinplifikatu.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Egin 8x_{1}-8x_{2}=-12 ken 8x_{1}+12x_{2}=28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Gehitu 8x_{1} eta -8x_{1}. Sinplifikatu egiten dira 8x_{1} eta -8x_{1}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Gehitu 12x_{2} eta 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Gehitu 28 eta 12.

$$20x_{2}=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$x_{2}=2$$

Ordeztu 2 x_{2} balioarekin 4x_{1}-4x_{2}=-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Egin -4 bider 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x_{1}=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$