Resolver {l}{2x-y=2}{6x-y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 6 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Ordeztu \frac{y}{2}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-y=-2).

$$6\left(\frac{1}{2}y+1\right)-y=-2$$

Egin 6 bider \frac{y}{2}+1.

$$3y+6-y=-2$$

Gehitu 3y eta -y.

$$2y+6=-2$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=\frac{1}{2}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4\right)+1$$

Egin \frac{1}{2} bider -4.

$$x=-2+1$$

Gehitu 1 eta -2.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

Egin 6x-y=-2 ken 2x-y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-6x-y+y=2+2$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-6x=2+2$$

Gehitu 2x eta -6x.

$$-4x=2+2$$

Gehitu 2 eta 2.

$$-4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin 6x-y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$6\left(-1\right)-y=-2$$

Egin 6 bider -1.

$$-6-y=-2$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-4$$