Resolver {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=-2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y-2.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Ordeztu \frac{y}{2}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+y=-1).

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

Egin -5 bider \frac{y}{2}-1.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

Gehitu -\frac{5y}{2} eta y.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{1}{2}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

Egin \frac{1}{2} bider 4.

$$x=2-1$$

Gehitu -1 eta 2.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

2x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

Egin -10x+2y=-2 ken -10x+5y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

Gehitu -10x eta 10x. Sinplifikatu egiten dira -10x eta 10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y-2y=10+2$$

Gehitu 5y eta -2y.

$$3y=10+2$$

Gehitu 10 eta 2.

$$3y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin -5x+y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+4=-1$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$