Resolver {l}{2x-6y=16}{-x+2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 16 } \\ { - x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-6y=16$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6y+16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+16\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 6y+16.

$$x=3y+8$$

Ordeztu 3y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+2y=-4).

$$-\left(3y+8\right)+2y=-4$$

Egin -1 bider 3y+8.

$$-3y-8+2y=-4$$

Gehitu -3y eta 2y.

$$-y-8=-4$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=3y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\left(-4\right)+8$$

Egin 3 bider -4.

$$x=-12+8$$

Gehitu 8 eta -12.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&-\frac{-6}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16-3\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\times 16-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-\left(-6y\right)=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$-2x+6y=-16,-2x+4y=-8$$

Egin -2x+4y=-8 ken -2x+6y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x+6y-4y=-16+8$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-4y=-16+8$$

Gehitu 6y eta -4y.

$$2y=-16+8$$

Gehitu -16 eta 8.

$$2y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -x+2y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+2\left(-4\right)=-4$$

Egin 2 bider -4.

$$-x-8=-4$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-4$$