Resolver {l}{2x-5y=100}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-5y=100$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=5y+100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 100+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

Ordeztu 50+\frac{5y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=120).

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

Egin 4 bider 50+\frac{5y}{2}.

$$10y+200+y=120$$

Gehitu 10y eta y.

$$11y+200=120$$

Egin ken 200 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11y=-80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Ordeztu -\frac{80}{11} y balioarekin x=\frac{5}{2}y+50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

Egin \frac{5}{2} bider -\frac{80}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

Gehitu 50 eta -\frac{200}{11}.

$$x=\frac{350}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

Sinplifikatu.

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

Egin 8x+2y=240 ken 8x-20y=400 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-20y-2y=400-240$$

Gehitu -20y eta -2y.

$$-22y=400-240$$

Gehitu 400 eta -240.

$$-22y=160$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Ordeztu -\frac{80}{11} y balioarekin 4x+y=120 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

Gehitu \frac{80}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{1400}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{350}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$