Resolver {l}{2x-5y=10}{4x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{35}{22} = 1\frac{13}{22} \approx 1.590909091$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-5y=10$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=5y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Ordeztu 5+\frac{5y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=5).

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=5$$

Egin 4 bider 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=5$$

Gehitu 10y eta y.

$$11y+20=5$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Ordeztu -\frac{15}{11} y balioarekin x=\frac{5}{2}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{15}{11}\right)+5$$

Egin \frac{5}{2} bider -\frac{15}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{75}{22}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{75}{22}.

$$x=\frac{35}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 5$$

Sinplifikatu.

$$8x-20y=40,8x+2y=10$$

Egin 8x+2y=10 ken 8x-20y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-20y-2y=40-10$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-20y-2y=40-10$$

Gehitu -20y eta -2y.

$$-22y=40-10$$

Gehitu 40 eta -10.

$$-22y=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Ordeztu -\frac{15}{11} y balioarekin 4x+y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-\frac{15}{11}=5$$

Gehitu \frac{15}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{70}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{35}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$