Resolver {l}{2x-5y=1}{3x-2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-5y=1$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=5y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 5y+1.

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{5y+1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=-4).

$$3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=-4$$

Egin 3 bider \frac{5y+1}{2}.

$$\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}-2y=-4$$

Gehitu \frac{15y}{2} eta -2y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=-4$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

Egin \frac{5}{2} bider -1.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -\frac{5}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}+\frac{5}{11}\left(-4\right)\\-\frac{3}{11}+\frac{2}{11}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x-15y=3,6x-4y=-8$$

Egin 6x-4y=-8 ken 6x-15y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-15y+4y=3+8$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y+4y=3+8$$

Gehitu -15y eta 4y.

$$-11y=3+8$$

Gehitu 3 eta 8.

$$-11y=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 3x-2y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\left(-1\right)=-4$$

Egin -2 bider -1.

$$3x+2=-4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-1$$