Resolver {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-4y=10$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=4y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 4y+10.

$$x=2y+5$$

Ordeztu 2y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-4y=11).

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

Egin 6 bider 2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

Gehitu 12y eta -4y.

$$8y+30=11$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=-19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Ordeztu -\frac{19}{8} y balioarekin x=2y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

Egin 2 bider -\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Egin 6x-4y=11 ken 2x-4y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

Gehitu -4y eta 4y. Sinplifikatu egiten dira -4y eta 4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-6x=10-11$$

Gehitu 2x eta -6x.

$$-4x=10-11$$

Gehitu 10 eta -11.

$$-4x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{1}{4} x balioarekin 6x-4y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

Egin 6 bider \frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$