Resolver {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$2y+3x=-17$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=10$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Ordeztu \frac{3y}{2}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=-17).

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

Egin 3 bider \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta 2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Ordeztu -\frac{64}{13} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{64}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$2y+3x=-17$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$2y+3x=-17$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

Egin 6x+4y=-34 ken 6x-9y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-4y=30+34$$

Gehitu -9y eta -4y.

$$-13y=30+34$$

Gehitu 30 eta 34.

$$-13y=64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Ordeztu -\frac{64}{13} y balioarekin 3x+2y=-17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

Egin 2 bider -\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

Gehitu \frac{128}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$