Resolver {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$17y+3x=-11$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=10$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Ordeztu \frac{3y}{2}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+17y=-11).

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

Egin 3 bider \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{43}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Ordeztu -\frac{52}{43} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{52}{43}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$17y+3x=-11$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$17y+3x=-11$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

Egin 6x+34y=-22 ken 6x-9y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-34y=30+22$$

Gehitu -9y eta -34y.

$$-43y=30+22$$

Gehitu 30 eta 22.

$$-43y=52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -43 balioarekin.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Ordeztu -\frac{52}{43} y balioarekin 3x+17y=-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

Egin 17 bider -\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Gehitu \frac{884}{43} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{411}{43}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{137}{43}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$