Resolver {l}{2x-3y=4}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$y = -\frac{16}{13} = -1\frac{3}{13} \approx -1.230769231$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=4$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

Ordeztu \frac{3y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y=2).

$$5\left(\frac{3}{2}y+2\right)-y=2$$

Egin 5 bider \frac{3y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+10-y=2$$

Gehitu \frac{15y}{2} eta -y.

$$\frac{13}{2}y+10=2$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Ordeztu -\frac{16}{13} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{16}{13}\right)+2$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{16}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{24}{13}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{24}{13}.

$$x=\frac{2}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 4+\frac{3}{13}\times 2\\-\frac{5}{13}\times 4+\frac{2}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\-\frac{16}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 4,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Sinplifikatu.

$$10x-15y=20,10x-2y=4$$

Egin 10x-2y=4 ken 10x-15y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-15y+2y=20-4$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y+2y=20-4$$

Gehitu -15y eta 2y.

$$-13y=20-4$$

Gehitu 20 eta -4.

$$-13y=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Ordeztu -\frac{16}{13} y balioarekin 5x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-\left(-\frac{16}{13}\right)=2$$

Egin ken \frac{16}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{10}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{2}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$