Resolver {l}{2x-3y=15}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=-5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=15$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Ordeztu \frac{15+3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=10).

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)-2y=10$$

Egin 3 bider \frac{15+3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}-2y=10$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{45}{2}=10$$

Egin ken \frac{45}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{25}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{15}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider -5.

$$x=\frac{-15+15}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} eta -\frac{15}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 15+\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=-5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 10$$

Sinplifikatu.

$$6x-9y=45,6x-4y=20$$

Egin 6x-4y=20 ken 6x-9y=45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-9y+4y=45-20$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y+4y=45-20$$

Gehitu -9y eta 4y.

$$-5y=45-20$$

Gehitu 45 eta -20.

$$-5y=25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-5$$

Ordeztu -5 y balioarekin 3x-2y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\left(-5\right)=10$$

Egin -2 bider -5.

$$3x+10=10$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-5$$