Resolver {l}{2x-3y=0}{-x+15y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=0$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Ordeztu \frac{3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+15y=3).

$$-\frac{3}{2}y+15y=3$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta 15y.

$$\frac{27}{2}y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{27}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{2}{9}$$

Ordeztu \frac{2}{9} y balioarekin x=\frac{3}{2}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2}{9}$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{2}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 3\\\frac{2}{27}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$-2x+3y=0,-2x+30y=6$$

Egin -2x+30y=6 ken -2x+3y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x+3y-30y=-6$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-30y=-6$$

Gehitu 3y eta -30y.

$$-27y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -27 balioarekin.

$$y=\frac{2}{9}$$

Ordeztu \frac{2}{9} y balioarekin -x+15y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+15\times \frac{2}{9}=3$$

Egin 15 bider \frac{2}{9}.

$$-x+\frac{10}{3}=3$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-\frac{1}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$