Resolver {l}{2x-3y=-1}{5x+2y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 5 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=-1$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{3y-1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+2y=26).

$$5\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+2y=26$$

Egin 5 bider \frac{3y-1}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{5}{2}+2y=26$$

Gehitu \frac{15y}{2} eta 2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{5}{2}=26$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider 3.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-1\right)+\frac{3}{19}\times 26\\-\frac{5}{19}\left(-1\right)+\frac{2}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\left(-1\right),2\times 5x+2\times 2y=2\times 26$$

Sinplifikatu.

$$10x-15y=-5,10x+4y=52$$

Egin 10x+4y=52 ken 10x-15y=-5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-15y-4y=-5-52$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y-4y=-5-52$$

Gehitu -15y eta -4y.

$$-19y=-5-52$$

Gehitu -5 eta -52.

$$-19y=-57$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 5x+2y=26 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+2\times 3=26$$

Egin 2 bider 3.

$$5x+6=26$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$